А если вкратце, что произошло в мире Наруто по сюжету?

Минуло чуть больше года, после победы над Мадарой, жизнь возвращается в привычное русло. Шиноби, погибшие в этой войне (чьи тела так и не были найдены), через некоторое время вернулись в свои деревни. Каге узнали о существовании неизвестной ранее базы в Стране Чая. Саске подтвердил догадки глав селений и отправился туда с небольшой группой шиноби. По возвращении, Саске рассказал о том, что в Стране Чая им удалось пробраться в лабораторию, в которой, скорее всего и были оживлены их товарищи.

С чего начинаем игру?

С того момента, когда Саске вернулся в Коноху из Страны Чая с докладом. Разговор с Какаши уже состоялся. Теперь Хокаге нужно принять решение относительно последующих действий. Союзные страны ждут известия из Листа.
Т.е. это год спустя войны и примерно конец октября-начало ноября по календарю.

Осознают ли воскрешенные то, что они делают?

Да, и вполне осознанно шпионят и "разнюхивают" информацию для Фуккацу. Они - под властью техники контроля разума, их цели состоят в том, чтобы узнать как можно больше и вернуться в организацию с "отчетом".